Los números complejos ¿existen o no?

[Alvarez]

Para los que tengas ganas de romperse el coco un rato les dejo una demostración acerca de la inexistencia de los números complejos. Esta es una locura que se me ocurrió mientras le explicaba algo a un alumno de la facu (como era de esperar, el pobre salió entendiendo menos)

Para evitar notación complicada puse todo en un pequeño pdf (complejos.pdf).

complejos.pdf

Editado 26 de Noviembre del 2008 por Invitado

[emilio]

Para los que tengas ganas de romperse el coco un rato les dejo una demostración acerca de la inexistencia de los números complejos. Esta es una locura que se me ocurrió mientras le explicaba algo a un alumno de la facu (como era de esperar, el pobre salió entendiendo menos)

Para evitar notación complicada puse todo en un pequeño pdf (complejos.pdf).

En palabras:

Uno elevado a delta, no es igual a uno, es igual a la raiz enésima de uno y la raiz enesima de uno es igual cos (2.pi.k)/n + i sen (2. pi .k)/n donde k es un entero cualquiera, entonces no hay contradiccion dado que a+ib es igual a la expresión que escribí antes y ambos son numeros complejos .

(delta siempres es un número menor que uno, de manera que la potencia de una fraccion es un raiz).

Estoy aprobado?

saludos

emilio

[Alvarez]

Emilio:

Eso es cierto si delta es racional, pero ¿qué pasa si delta es irracional?. En realidad eso es lo que hay que descular.

[Gliese]

Por lo que tengo entendido el número i es un artilugio para poder resolver problemas como la raíz de un número negativo.

O sea que de un número complejo, la parte i es "de mentira" por lo que todo el número complejo es irreal.

[emilio]

Tenés razón, queda claro entonces que si delta es racional la explicación es válida.

Si delta es irracional es un caso particular de los numeros complejos solo que la componente imaginaria es cero b=0 , y como los reales estan incluidos en los complejos,la igualdad es correcta a es igual a la raíz cuadrada de a al cuadrado, lo que es cierto.

De manera que cuando i2PI d es racional tenemos un complejo con su componente real y su componente imaginaria y cuando es irracional tenemos un complejo que solo tiene componente real ?

Porque por otro lado la función exponencial con exponente real (donde estan incluido los numeros irracionales) y base uno da uno, sin vueltas.Otra cosa es el cálculo de la exponencial distinta de uno con exponente irracional que se hace por intervalos de potencias,pero eso es otra cosa(me parece).

Saludos

[Alvarez]

Si delta es irracional es un caso particular de los numeros complejos solo que la componente imaginaria es cero b=0 , y como los reales estan incluidos en los complejos,la igualdad es correcta a es igual a la raíz cuadrada de a al cuadrado, lo que es cierto.

No entiendo cuando decís que si delta es irracional b=0 ya que la única forma en que b sea cero es que el argumento sea 0 o PI. Si bien 1/2PI es irracional, no es el único, por ejemplo supongamos que tenemos un complejo cuyo argumento es sqrt(3)*PI => Delta sería igual a sqrt(3)/2, que es irracional y no conduce a b=0.

Por otro lado, no es posible asegurar que a es igual a la raíz cuadrada de a al cuadrado, eso sería equivalente a decir que a = |a| (módulo de a). Qué para si a < 0?

Con respecto a tu consulta, efectivamente, si el exponente es irracional, se evalúa por aproximación buscando sucesivos racionales por encima y por debajo del irracional en cuestión.

[McLennon]

nuuuu

no me digaaan ahora, me costo un monton rendir funciones de variable compleja, y ahora me dicen q no existe...

Laplace se revuelca

[Alejandro Pettovello]

Opino modestamente que el unico numero que existe es el 1, o sea el uno, la unidad. El resto es fabricacion humana ...

Saludos!

[Alvarez]

nuuuu

no me digaaan ahora, me costo un monton rendir funciones de variable compleja, y ahora me dicen q no existe...

Laplace se revuelca

Y Fourier ni te cuento.

Opino modestamente que el unico numero que existe es el 1, o sea el uno, la unidad. El resto es fabricacion humana ...

Saludos!

¿y el cero?

[Miguel L]

Hola.

Don Álvarez, honestamente se aprecia el “cero” luego de tanta “abstracción”, que cuesta meterlo al corral junto con los números naturales, en realidad tiene un gran parecido a “un invento muy útil”, (no dudo en la necesidad de su existencia para el cálculo), desde ese punto de vista, coincido y comprendo el sentido de Alejandro Pettovello, el “cero” también es “un invento”. (A pesar de pertenecer a todo sistema numérico en cualquier base).

Cordiales saludos.

[Alvarez]

Y depende como se considere, sin entrar en consideraciones de grupos abelianos o grupos no abelianos para tal o cual operación, los números naturales (1, 2, 3, ...) recién incorporaron el cero allá por el siglo XII (introducido por los árabes, quienes lo tomaron de la India). Hay quien define a los naturales con el cero y sin el cero, así que según como se defina no todos los sistemas numéricos contienen el cero.

Ahora, invento o no, sin el cero sería imposible la matemática. Desde el punto de vista matemático es la definición fundamental sobre la cual todo se basa, la aritmética zafa sin el cero, pero algo arriba de eso sería imposible. Ahora, ¿es un invento? Bien, pero ... defina invento. Igual invento hasta ahí ya que hasta tiene sentido filosófico y hasta cotidiano. Si tenes un alfajor en la mano tenés UNO alfajor y si te lo morfás en la mano tenés CERO alfajor (está en la panza), lo interesante es que además en la mano se puede tener cero celular, cero notebook y hasta cero helicóptero, ya que el cero se impone sobre el objeto.

Muchas cosas son un invento en realidad, sin ir mas lejos la palabra es un invento y/o una convención, es un código común para poder establecer una comunicación más o menos básica. Sin embargo las matemáticas permiten establecer una comunicación a un nivel más elemental, claro que hay que definir antes la base numérica ya que 2+2=4 es una verdad, pero también lo es 2+2=10 o 2+2=11. Pero jamás podrá ser 2+2=3 o 2+2=12 ... ¿o sí?

Mejor sigo con el whisky.

Editado 11 de Diciembre del 2012 por Invitado

[Miguel L]

Don Álvarez, Tiene usted razón, pero no se me enoje, al concepto del cero se llega (en la forma más elemental), por una abstracción, luego de conocer el uno, tan simple como “ser” o “no ser”, (pero para llegar allí primero hay que “ser”), como usted dijo, comerse o no el alfajor (o el helicóptero), desde ese punto de vista coincido con Alejandro, que el “uno” tiene más valor que el “cero” o los demás números, porque el cero necesita del uno para intelectualizarlo, (no me pida definición de “valor” o “intelectualización” porque quedamos empantanados), desde allí que el “cero” se “descubrió” posteriormente al “uno”, (ya que no le gusta el “invento” del “cero”).

Respecto a 2+2=11 y 2+2=10 tiene razón, (pero debe explicitarse la base), respecto a 2+2=3 o 2+2=12 a menos que saque de la galera una nueva definición de base o cambie el valor de los caracteres, no existe.

Como siempre es muy grato y apreciado vuestro punto de vista, (siempre aprendemos algo).

Cordiales saludos.

[Alvarez]

Jajajaja, no es enojo, es treatro. Después de estar dando clases por más de 12 años en la facu (siempre relacionadas con temas matemáticos), me sale del alma el teatro cuando alguien dice "pero eso es un invento" y, más aún, el "eso para que me va a servir".

Lo que es indudable es que con el uno y el cero pasa lo mismo que con el huevo y la gallina. Primero fue el huevo y primero fue el uno. La diferencia es que la gallina a partir del huevo cae de madura, sin embargo el cero ha requerido de análisis tanto matemático como filosófico. En realidad el cero es la piedra basal de cualquier ciencia exacta, sin el cero no se hubiera podido llegar a nada. Aunque también es cierto que se puede vivir sin cero, Europa lo hizo por 1200 años, aunque sin ningún aporte relevante a la ciencia durante esa época.

Y no, 2+2=3 o 2+2=12 al menos sobrio es imposible

Edito: Si se conocen los números (símbolos y orden) y se sabe que es un sistema posicional, 2+2=10 u 11 ya explicita la base de forma unívoca (base 4 en el primer caso y 3 para 2+2=11). El problema es 2+2=4, es allí donde hay que explicitarla necesariamente, ya que puede ser cualquier base superior a 4.

Y acá otra maravilla del cero, sin cero se complica un sistema posicional.

[Carlosfb]

Hola Alvarez

El error está en que uno de tus pasos violás las fórmula de Euler, ya que en realidad no es una fórmula sino una notación, dicho de otra manera una forma escribir muy cómoda, ya que reducís el número complejo a una forma polar.

El paso en el cual escribís a+ib = rho ^(exp (i 2pi))^delta no es válido porque no tiene equivalente en la forma a+ib =cos(2 pi delta) + i sen(2 pi delta) en donde no hay manera de escabullir la delta hacia fuera del argumento trigonométrico.

Un abrazo,

Carlos

PS. los números imaginarios si existen.....

PS2. Hay algo más inquietante, todas la formulas de relatividad llevan un raíz cuadrada en la transformación de Lorentz, estará en la parte imaginaria el resto del Universo que no vemos ?

[Miguel L]

Don Álvarez, con o sin teatro, es un placer charlar con usted.

Pero lo que me dejo “en blanco” fue la PS2 de Carlos, por la mala costumbre de no marcar el + y el - de la raíz cuadrada, en ese insignificante y despreciado – puede estar (por lo menos), toda la materia oscura… al alcance del lápiz, pasteando como caballo invisible… (Perdón por la comparación).

Gracias Carlos y cordiales saludos.

[Alvarez]

Hola Alvarez

El error está en que uno de tus pasos violás las fórmula de Euler, ya que en realidad no es una fórmula sino una notación, dicho de otra manera una forma escribir muy cómoda, ya que reducís el número complejo a una forma polar.

El paso en el cual escribís a+ib = rho ^(exp (i 2pi))^delta no es válido porque no tiene equivalente en la forma a+ib =cos(2 pi delta) + i sen(2 pi delta) en donde no hay manera de escabullir la delta hacia fuera del argumento trigonométrico.

Tal cual, es una aproximación, dicho a lo bruto todo irracional está acotado entre dos racionales y esa es la madre del borrego.

[juanca]

Muy interesante,un gusto leer éstos comentarios. A veces uno cree que domina el tema, pero aparece un planteo como éste que obliga a repasar todo el tema nuevamente tras lo cual se afianzan los conceptos nuevamente.

Saludos

Juanca

[Alvarez]

Esa es la idea Juanca, la duda sirve para afianzar las cosas ... y no hay duda si no hay debate.

Ya que estamos, hablando de racionales e irracionales, es lógico pensar que por cada racional existen infinitos irracionales (basta hacer todas las raíces posibles de cada racional y quedarse con los que son irracionales). Abusando un poco de la notación lo que uno pensaría que el infinito de los irracionales es un infinito más grande que el de los racionales.

Pero ... ¿puede haber un infinito más grande que otro infinito ... o infinito es infinito a secas?

[Yul Goncalves]

Al despejar delta a mi me da:

Lo cual es otro número complejo. El problema radica en que no han despejado bien a delta.

Saludos...

Soy nuevo por aquí.